instituto de matemáticas universidad de sevilla
Antonio de Castro Brzezicki
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Estimaciones de altura, área y curvatura para grafos mínimos enteros en el espacio de Heisenberg
Seminario de Geometría Diferencial y Topología
Si bien las únicas funciones enteras sobre el plano cuya gráfica es una superficie mínima en el espacio euclídeo tridimensional son las funciones afines, un resultado similar en el espacio de Heisenberg dista mucho de ser cierto. El espacio moduli de tales grafos mínimos está esencialmente en correspondencia con el espacio de diferenciales cuadráticas holomorfas en el plano complejo o en el disco unidad (la diferencial holomorfa asociada a cada grafo entero es la diferencial de Abresch-Rosenberg). Este resultado, probado por I. Fernández y P. Mira, resuelve la clasificación de tales grafos mínimos enteros, aunque su carácter analítico no permite profundizar en algunas propiedades geométricas de los objetos clasificados. En esta charla, comenzaremos introduciendo una dualidad entre grafos mínimos enteros en el grupo de Heisenberg y grafos enteros espaciales con curvatura media constante en el espacio de Lorentz-Minkowski. La dualidad nos permitirá dar una demostración directa del resultado de Fernández y Mira, así como entender geométricamente la deformación 2-paramétrica que parametriza las familias de grafos enteros mínimos que comparten la misma diferencial de Abresch-Rosenberg. En la segunda parte de la charla, usaremos resultados en el espacio de Lorentz-Minkowski para probar que todo grafo entero mínimo en el espacio de Heisenberg tiene crecimiento de altura a lo sumo cúbico, crecimiento de área entre cuadrático y cúbico, y curvatura de Gauss negativa. Si el tiempo lo permite, discutiremos algunas consecuencias de estas propiedades y enunciaremos algunos problemas abiertos

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