Si eres bidimensional, aunque grites nadie te oye

Flatland

Edwin Abbott Abbott (Londres, 1838-1926), profesor, escritor y teólogo inglés, es el autor de la deliciosa novela satírica Flatland, romance of many dimensions -hay edición en español: Planilandia, José de Olañeta, Editor, Palma de Mallorca, 1999-. En ella se narran las aventuras de un cuadrado, un ser del mundo bi-dimensional Flatland (Planilandia), en Lineland y en Spaceland. De este modo, Abbott consigue popularizar nociones geométricas básicas y, también, fabular y denunciar los valores sociales, morales y religiosos de la época.

E.A. Abbott (1838-1926)
E.A. Abbott (1838-1926)

De hecho, su visión crítica de la religión le llevó a publicar más de un trabajo bajo seudónimo. Su artículo Los Evangelios, incluido en la novena edición de la Enciclopedia Británica, causó un gran revuelo en el ambiente teológico.

La obra se hizo muy popular, especialmente entre estudiantes de Matemáticas y Física. En 2007 se rodó una película titulada Flatland y un cortometraje titulado Flatland: The Movie. Ambos films están basados en la novela y resultan muy entretenidos e interesantes.

En la novela, el protagonista describe la realidad de su mundo con detalle. Como ilustración del nivel de crudeza con que Abbott denuncia su propia realidad, mencionemos que, en Planilandia, la clase más baja de la sociedad está constituida por las mujeres, representadas por segmentos y, por tanto, incapaces de evolucionar. Las mujeres carecen de derechos, tienen prohibido el acceso a la educación y son descritas como seres que actúan impulsivamente. Se usa con ellas un idioma diferente, más simple y emocional que el lenguaje que usan los hombres entre sí.

¿Un cuadrado hablando con otro?

C. Huygens (1629-1695)
C. Huygens (1629-1695)

En Flatland hay un error conceptual. Por supuesto, esto no disminuye ni mucho menos su valor, ni invalida el papel que jugó y juega como herramienta de denuncia social y, también, de divulgación matemática.

Pero hay algo en lo que, al parecer, no cayó Abbott: los seres bidimensionales no pueden comunicarse; al menos, no pueden hacerlo del modo en que nosotros concebimos la transmisión de información.

Como quedará justificado en la sección siguiente, si un cuadrado envía una señal sonora a un colega y ésta se propaga sobre el plano al que pertenecen ambos, transcurrido un tiempo la señal llegará a su amigo pero ya nunca la dejará de oír. Imaginad por tanto el ruido permanente que deben soportar los habitantes de Planilandia desde el inicio de los tiempos …

Pues no; lo que no puede ser no puede ser y, además, es imposible

Pensemos y escribamos como matemáticos.

Si la cantidad \(v(x_1,x_2,x_3,t)\) denota la perturbación producida en el punto \((x_1,x_2,x_3)\) del espacio Euclídeo en el instante \(t\) por la emisión de un sonido, es acertado suponer que \(v\) es solución de la siguiente ecuación en derivadas parciales, llamada ecuación de ondas:
$$
(1) \quad \quad {\partial^2 v \over \partial t^2}
– c^2 \left( {\partial^2 v \over \partial x_1^2} + {\partial^2 v \over \partial x_2^2} + {\partial^2 v \over \partial x_1^2}\right) = 0.
$$
Aquí \(c\) es una constante positiva (la velocidad de propagación de la señal).

A los que estamos habituados a escribir ecuaciones para describir fenómenos reales no nos supone ningún problema pensar en mundos bi-dimensionales, donde hay sólo dos coordenadas cartesianas. Así, si decimos que \(u(x_1,x_2,t)\) es la perturbación producida en el punto \((x_1,x_2)\) en el instante \(t\), se suele admitir que \(u\) es solución de la ecuación análoga
$$
(2) \quad \quad {\partial^2 u \over \partial t^2} – c^2 \left( {\partial^2 u \over \partial x_1^2} + {\partial^2 u \over \partial x_2^2} \right) = 0.
$$

Supongamos que, en el mundo real, en tres dimensiones, en el instante inicial se emite una señal en el entorno del origen; es decir, para \(t=0\) la solución \(v\) de (1) es positiva sólo en aquellos \((x_1,x_2,x_3)\) a una distancia \(\leq \epsilon\) de \((0,0,0)\) y cero en el resto.

Entonces un cálculo adecuado, que tiene su origen en los trabajos de Poisson, permite deducir que los valores de \(v\) para cada \(t > 0\) son distintos de cero sólo en aquellos puntos cuya distancia a \((0,0,0)\) está comprendida entre \(ct – \epsilon\) y \(ct + \epsilon\). En otras palabras: fijado un punto lejano \((x_1,x_2,x_3)\), la señal llega a \((x_1,x_2,x_3)\) en un tiempo adecuadamente grande, igual a
$$
t_* = {1\over c}(\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} – \epsilon)
$$
y afecta a este punto durante un intervalo de tiempo, hasta el instante
$$
t^* = {1\over c}(\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} + \epsilon).
$$
A partir de ese momento, la señal desaparece y ya no es percibida desde \((x_1,x_2,x_3)\). Se dice que se verifica el principio de Huygens, en honor a este célebre científico, el primero que supo describir con precisión la situación.

Esquema de propagación de ondas en dos dimensiones. Tomado de http://demezcalaparaelmundo.blogspot.com.
Esquema de propagación de ondas en dos dimensiones.

Intentemos ahora analizar el mismo fenómeno en un mundo bi-dimensional. En el instante \(t=0\), la solución \(u\) de (2) debe ser positiva en los puntos \((x_1,x_2)\) a distancia \(\leq \epsilon\) de \((0,0)\) e idénticamente nula en el resto. Gracias al método de descenso de Hadamard, somos también capaces de calcular \(u\). Pero ahora no es difícil observar que, contrariamente a lo que le ocurre a \(v\), para cada \(t > 0\) la solución \(u\) es positiva en todo punto \((x_1,x_2)\) a distancia superior a \(ct – \epsilon\).

Dicho de otro modo: fijado el punto \((x_1,x_2)\), es de nuevo cierto que la señal llega a \((x_1,x_2)\) en un tiempo sufiecientemente grande, igual a
$$
t_{**} = {1\over c}(\sqrt{x_1^2 + x_2^2} – \epsilon).
$$
Pero, una vez que llega, ya nunca deja de percibirse en \((x_1,x_2)\).

Esta manera que tiene de propagarse el sonido en dimensión dos hace claramente imposible la comunicación: las señales se superponen y la transmisión de información no está regida por las reglas a las que estamos habituados.

Para saber más

[1] E.A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions (Princeton Science Library), Quora Media, Classic Bestsellers, Surrey, Canada, 2017. Edición en español: Planilandia, José de Olañeta, Editor, Palma de Mallorca, 1999

[2] https://www.youtube.com/watch?v=OgiO32MDq3k (“Flatland”, la película, 2007).

[3]  https://www.youtube.com/watch?v=alR1tHqIg Q (“Flatland: The Movie”, el cortometraje, 2007).

[4] F. John, Partial Differential Equations, 4th Ed., Springer-Verlag, New York, 1991.

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