¿Cuál fue el pecado del pobre Hipaso?

Una de las más célebres anécdotas sobre las Matemáticas nos cuenta que Hipaso de Metapontion (una colonia griega en el golfo de Tarento, allá en el extremo de la península que hoy es Italia) fue arrojado al mar por los de su secta: los pitagóricos. La causa, ni más ni menos que el descubrimiento de los irracionales.

En realidad es bastante oscuro qué hizo quién, y por qué se castigó a Hipaso (o a quien fuera): ¿fue por encontrar irracionalidades, o por causa del dodecaedro? ¿fue por descubrir un resultado, o por romper la regla de silencio de los pitagóricos? Sobre esto, mirad el texto de Jámblico en la nota que añado al final.

En todo caso, muchos historiadores están dispuestos a defender que Hipaso de Metapontion bien pudo ser quien, hacia el año 450 a.C., por vez primera descubrió una relación geométrica que no era expresable como fracción. Descubrimiento enorme que marcó la historia del pitagorismo (la única doctrina metafísica que ha sido refutada vía demostración) y la historia de las matemáticas en Grecia.

Me gustaría comentar algo acerca de cómo Hipaso, o algún otro pitagórico allá por el siglo V antes de nuestra era, hace unos 2500 años, pudo realizar su magno descubrimiento.

Es probable que el lector conozca la famosa demostración (por reducción al absurdo) de la irracionalidad de la diagonal del cuadrado. Se empieza suponiendo que \(\surd(2)\) = a/b, donde a y b son números naturales; pero al desarrollar consecuencias de este supuesto se llega a una contradicción (que puede formularse diciendo: b debe ser par, pero también impar). Pero hoy no quiero hablar de esa demostración: es más probable que el descubrimiento de Hipaso fuera a propósito de la diagonal del pentágono.

El estudio del pentágono conecta con el dodecaedro, la “esfera de doce pentágonos” que menciona el neoplatónico Jámblico (ver nota); el dodecaedro, en efecto, fascinó a los pitagóricos. Los pentágonos son estudiados en el Libro IV de los Elementos de Euclides, y hay buenas razones para pensar que el contenido de dicho libro proviene de los pitagóricos.

Como es sabido, el pentagrama místico desempeñaba un papel central para ellos. (Este pentagrama lo forman las cinco líneas en azul de la figura, cada una de las cuales es una diagonal del pentágono.) Y no sólo resulta probable que Hipaso trabajara en el pentágono, sino sumamente hermoso.

Además veremos que el resultado se puede obtener, no por reducción al absurdo (un procedimiento muy sofisticado, poco plausible en los estados iniciales del desarrollo de la geometría), sino por algo que recuerda al descenso infinito. En mi opinión, esto hace más plausible que la vía propuesta fuera la de un primer descubrimiento.

En efecto, la razón entre el lado (en rojo) y la diagonal (en azul) del pentágono es el famoso número φ [phi], la proporción áurea, que es irracional. ¿Cómo pudo esto, la irracionalidad de φ, ser descubierto por un pitagórico hacia el 450 a.C., en el siglo V antes de nuestra era?

Como diría mi hija, porque eran divos. Vamos a verlo.

El pentágono y el pentagrama son realmente admirables por la riqueza y la armonía de las relaciones que surgen en ellos. La figura del pentagrama engendra un nuevo pentágono invertido, y así sucesivamente ad infinitum, hasta el infinito. Cosa maravillosa ésta de la repetición infinita de las mismas relaciones.

Pero el lector debe estudiar un poco la figura adjunta, familiarizarse con sus formas: enseguida advertirá que por todas partes surgen triángulos isósceles.

El más importante es el triángulo ADC formado por las diagonales y el lado del pentágono; se le llama triángulo áureo. Este triángulo es el que usa Euclides para construir un pentágono inscrito en un círculo dado (Libro IV, prop. 11).

Pero hay otros triángulos isósceles más pequeños: AE’B y BD’E’, por ejemplo, son similares a ADC.

Analiza, querido lector, la figura, familiarízate con los muchos triángulos que aparecen, y trata de descubrir (sabiendo que los ángulos en la base de un isósceles son iguales) qué relación hay entre los ángulos del triángulo áureo. Podrás demostrar, como lo hicieron los pitagóricos, que los ángulos de su base son exactamente dobles que el ángulo en la cúspide. Notable. (En notación moderna, el ángulo en A es de 36º, los ángulos en D y C son de 72º.)

Tratemos ahora, como seguramente hizo Hipaso, de descubrir algo acerca de las relaciones entre el lado y la diagonal, también teniendo en cuenta el lado del pentágono interior A’B’C’D’E’ (y, por qué no, la diagonal B’E’ también).

Para no perdernos, llamemos l1 y l2 al lado mayor y el menor, respectivamente, d1 y d2 a las diagonales correspondientes.

Empleando las propiedades de los triángulos isósceles en la figura, vemos que AE’ = l1. Pero también podemos advertir, considerando el triángulo B’E’C (isósceles de nuevo), que E’C = d2. Luego concluiremos que d1 = l1 + d2, o si se quiere

d2 = d1 – l1.

Vamos avanzando hacia un resultado.

¿Qué pasa con el lado pequeño l2? Bien, es fácil advertir (por simetría) que AD’ = E’C, y eso nos lleva a que l2 + d2 = l1. De modo que

l2 = l1 – d2.

Magnífico. Ya casi estamos.

Tratemos ahora de pensar qué propiedades tendrá una supuesta medida común de la diagonal y el lado, d1 y l1. Se trataría, si existe, de una pequeña fracción del lado l1 que “mide a” la diagonal d1 –se quiere decir de manera exacta y sin resto–.

Llamemos m a la medida común, esa pequeña porción de l1. Pues bien, como d2 es la diferencia entre d1 y l1 (ambos múltiplos exactos de m), no hay duda de que d2 será también un múltiplo exacto de m.

Pero l2 es la diferencia entre l1 y d2, y por la misma razón el lado l2 será múltiplo exacto de m. Lo cual nos arroja de cabeza en el abismo de las infinitas copias similares del pentágono que surgen en su interior.

Lo que vale para l1 y d1, valdrá también para l2 y d2: todos ellos son medidos por m de forma exacta.

Análogamente, la pequeña medida m debe ser medida común de los ulteriores lado y diagonal, l3 y d3, y así sucesivamente –l4 y d4, etc.– en un proceso de descenso infinito.

Ahora bien, la medida m, por pequeña que sea, tendría que ser una fracción finita del lado l1. Pero el argumento nos muestra que debe ser medida común de toda una serie de segmentos cada vez más pequeños, sin que de hecho exista un límite inferior para su tamaño.

¡Lo cual es manifiestamente imposible!

Hipaso, tras mucho pensar y romperse la cabeza, se vio obligado a concluir que la relación entre lado y diagonal del pentágono no puede expresarse como una fracción. ¡El lado es inconmensurable con la diagonal! ¡No hay medida común! O dicho de otro modo: φ es irracional.

El espanto debió invadirle: ¡No todas las relaciones en el cosmos son relaciones numéricas! ¡Pitágoras estaba equivocado en su metafísica! (Aquí, decir ‘relación numérica’ es lo mismo que decir ‘fracción’: para los griegos, los números son siempre números naturales. Por eso, en sentido estricto, no descubrieron los “números irracionales”, ya que este concepto no tenía ningún sentido para ellos: descubrieron que hay segmentos inconmensurables, cantidades geométricas que no son expresables de forma “racional”, como fracciones.)

Y si a él le invadió el espanto, bien pudo invadirles la furia a sus compañeros de secta: La leyenda cuenta que iban viajando en barco por el Mediterráneo cuando Hipaso les hizo partícipes del resultado, y que no pudieron evitar la tentación de acabar con el mensajero de noticias tan funestas. Quizá no sea verdad, pero la historia es buena: se non e vero, e ben trovatto.

Lo tiraron al mar. Dieron buena cuenta del mensajero, aunque eso no bastó para acabar con el negro mensaje. Cosas de las razón matemática, del logos, que se nos impone a nuestro pesar, guste o no guste.

 

 

 

 

Boceto de Dalí para su obra “Leda atómica”, donde puede verse que basa la composición en el pentagrama místico.

 

 

 

 

NOTA o APÉNDICE: Dice Jámblico en Vita Pythagorica, 34: “De Hipaso se dice que fue un pitagórico, y que, por haber sido el primero en describir y hacer pública la esfera de los doce pentágonos, pereció en el mar por su impiedad, y sin embargo recibió crédito por el descubrimiento, a pesar de que realmente pertenecía a AQUEL (pues de tal modo se refieren a Pitágoras, y no llamándole por su nombre).”

Sin embargo, Jámblico no es demasiado fiable: neopitagórico y neoplátonico, eco de narraciones seguramente legendarias, vivió hacia el año 300, ¡unos tres cuartos de milenio después del hecho! Muchos historiadores desconfían de la obsesión cuasi-religiosa por atribuirle todo a Pitágoras.

Sobre José Ferreirós 2 Artículos
Catedrático de Lógica y Filosofía de la Ciencia en la Universidad de Sevilla, mi especialidad principal son las matemáticas: su historia y su epistemología.

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