El paraíso de Cantor

Estaba Dios con los justos a su derecha y sintió un vacío a su izquierda. No es bueno que estemos aburridos. Hagamos el Paraíso de Cantor.

Y miró a su izquierda y no vio nada
$$\mskip -100mu \emptyset.$$
Y lo llamó \(0\) y pasó un día y una noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-100mu \{\emptyset\}.$$
Y lo llamó \(1\) y pasó otro día y otra noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-100mu\{\emptyset, \{\emptyset\}\}.$$ Y lo llamó \(2\) y pasó otro  día y otra  noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-50mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\,\}.$$ Y lo llamó \(3\) y pasó otro  día y otra  noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-20mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\,
\{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\,\}.$$ Y lo llamó \(4\) y pasó o otro  día y otra  noche.

$$\dots$$

 

 

Y vio Dios todo lo que había hecho y he aquí que era bueno en gran manera. Y Kronecker fue feliz.

Había creado a los números naturales, y llamando  a Kronecker a una peña, le dijo:

—Esto no ha terminado, mira
$$\mskip-200mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\,
\{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}, \dots\}.$$
Y lo llamó \(\omega_0\) y pasó otro día y otra noche.

Y al día siguiente, volvió a mirar
$$\mskip-200mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\,
\{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}, \dots, \omega_0\}.$$
Y lo llamó \(\omega_0+1\) y pasó otro día y otra noche.

Y observó Dios que \(1+\omega_0=\omega_0\ne \omega_0+1\).

Pasaron muchos días, muchos, innumerables. Y todavía continuaba Dios su
obra. El primer día innumerable pudo ver un conjunto increíble
$$\mskip-200mu\omega_1=\{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset,
\{\emptyset\}\},\, \{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},
\dots, \omega_0, \dots\},$$ que ningún mortal puede nunca conocer verdaderamente.

Y Cantor fue feliz.

Brueghel (el viejo) y Rubens. El jardín del edén con la caída de Adan y Eva.

 

Miró Dios su obra, y llamando a Cantor a una peña le dijo:

DIOS: Estos son los ordinales. Ellos serán la piedra angular sobre la que construiré tu Paraiso.

CANTOR: ¿Cuándo podré verlo?

DIOS: En cuanto acabe con los ordinales.

CANTOR: ¿Puedes hacerlo?

DIOS: ¿Cómo dudas? Aquí los tienes:
$$\Omega$$

Miró Cantor y dijo:

CANTOR: Pero…  ¡yo veo algo más! ¿No te olvidaste del \(\Omega+1\)?
$$\mskip-200mu\{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset,
\{\emptyset\}\},\, \{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},
\dots, \omega_0, \dots, \Omega\},$$

$$*\qquad*\qquad*$$

Y todo fue confusión.

Gracias a Javier Lerín por el dibujo

Notas:

En el mito de la creación Dios crea a partir de la nada. En la matemática actual todo se reduce a conjuntos que se construyen a partir de la nada. Aquí ilustramos la paradoja de Burali Forti y la definición de von Newman de número ordinal. Kronecker decía que los números naturales eran creación de Dios y que todo lo demás era obra del hombre. En el jardín del edén tenían prohibido comer del árbol de la vida en medio del huerto y del árbol de la ciencia del bien y del mal. Cantor mirando \(\Omega\) transgrede esta prohibición, por esto el paraíso queda destruido, a pesar de las palabras de Hilbert: Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros.

En el Génesis Dios descansa al séptimo día. Aquí no vemos a Dios descansar, si acaso cinco minutos cuando termina los naturales.

  1. Estupenda la historia, Juan, ¡enhorabuena! Me encanta cómo lo presentas, y cómo juegas con eso de que Dios existe (porque tenemos la jerarquía de los conjuntos y los ordinales) y también el Diablo existe (porque tenemos las antinomias).
    Otra cosa, un detalle filosófico que quizá no tiene importancia. El conjunto vacío es un objeto matemático, no es una ‘nada’. Así que: ¿hablamos una creación a partir de la nada, o de otra cosa?
    Más importante es cómo ese Dios de la historia no encuentra límites a su ascenso transfinito… Los inmortales de Borges no pueden pasar del nivel donde dejas a Kronecker.

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