Einstein, Wigner y el misterio de las Matemáticas

En una entrada anterior comentamos la idea galileana de que las Matemáticas son el lenguaje para describir el mundo que nos rodea. Que el Mundo (la Naturaleza, o el Universo) pueda ser estudiado con nuestros sentidos y entendido mediante la razón no está exento de cierta polémica, no obstante vamos a asumir, por el momento, que efectivamente el mundo es cognoscible, que se puede comprender por medio de la razón y, a partir de la obra de Galileo, describir usando las matemáticas.

Hay un sinnúmero de fenómenos naturales que reafirman lo anterior que comentaremos en alguna otra ocasión. En esta entrada quiero centrarme en algo más básico, concretamente en la pregunta ¿cómo es posible que efectivamente las matemáticas sean el lenguaje de la naturaleza?

Ya Albert Einstein en su interesante ensayo de 1921 “Geometrie und Erfahrung” (Geometría y Experiencia), cuyo texto completo en inglés lo tenéis aquí, escribió sobre ello

Es increíble que la matemática, habiendo sido creada por la mente humana, logre describir la naturaleza con tanta precisión”.

Años más tarde, en 1961, otro gran físico y matemático, Eugene Wigner (premio nobel de física por sus aportaciones a la física nuclear y pionero en el uso de la teoría de grupos en la física) también escribió un influyente artículo sobre el tema titulado Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (La irrazonable efectividad de las Matemáticas in las ciencias naturales) en cuyo final sentenció:

El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que ni entendemos ni merecemos.”

No tengo intención de entrar en la discusión del por qué no lo “merecemos” pero sí quiero discutir brevemente la razón por la cual, en mi opinión, que las Matemáticas sean el lenguaje que permite explicar como “funciona” la Naturaleza no es demasiado descabellado.

La historia comienza, como no, en la antigua Grecia. El primer intento de explicar como funcionaba el mundo llevó a los griegos a inventarse los Dioses, hechos a su imagen y semejanza. Claro que esa idea, con poco que uno observe lo que ocurre a su alrededor, no va a ningún sitio. Por ejemplo, la periodicidad de la noche y el día a lo largo de los años, la duración de los años, la sucesión sin margen de error de las estaciones, el movimiento (aparente) de las estrellas en el firmamento, que los objetos “pesados” siempre caen al suelo, etc. nos hace pensar que existen ciertas pautas y leyes que están fijas y que no se pueden cambiar cuando se quiera. ¿Quién fue la primera persona que rompió con la idea de que la naturaleza se podía comprender usando la razón? Seguramente no lo sabremos, aunque se le suele otorgar ese honor a Tales de Mileto. Poco se sabe de Tales. Se dice que nació (en el 623 a.C.) y murió (en el 540 a.C.) en Mileto, una antigua ciudad en la costa de Anatolia, actual Turquía, desaparecida hace años, aunque viajó mucho por el Mundo Antiguo. Muchos historiadores y filósofos lo consideran el iniciador del razonamiento científico y filosófico griego y occidental. En matemáticas es conocido por dos teoremas geométricos.

El primero de ellos afirma que “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado”.

Así tenemos que (véase la figura de la izquierda) el triángulo 0AC es semejante al triángulo 0BD y por tanto se tiene que 0C/0D=0A/0B=AC/BD.

Medición de la altura de la Gran pirámide.

Cuentan que la fama que precedía a Tales era tan grande que durante su viaje a Egipto, el faraón le pidió que midiera la altura de la Gran Pirámide de Giza, algo que se consideraba tremendamente difícil. Pues bien, nuestro Tales usando su bastón, la sombra de este y el teorema mencionado antes fue capaz de medir, sin ningún problema la altura de la pirámide. Efectivamente, si miramos la figura de la derecha y usamos la relación anterior deducimos que la altura h de la pirámide es h=BD=(0B ⋅ AC)/0A. Para que las cuentas fuesen todavía más simples cuentan que tales esperó que la sombra de su bastón midiera lo mismo que el propio bastón, de forma que la sombra de la pirámide coincidiera con su altura (AC=0A, por tanto BD=0B).

Por supuesto que hay varias cuestiones a tener en cuenta como seguramente el lector avispado habrá descubierto. Una de ellas es que la sombra de la pirámide se va moviendo a lo largo de año, así para obtener el resultado correcto usando el razonamiento anterior Tales debería haber estado en el sitio adecuado (Giza) en el momento justo pues la sombra ha de ser simétrica – ver la siguiente figura (izquierda).

Sombra de la pirámide vista desde arriba. I casi simétrico, II caso no simétrico.

Dejamos al lector como deberes (de esos que ahora son tan impopulares) que adapte el cálculo para el caso cuando la sombra está desviada un cierto ángulo (derecha).

Medición de la circunferencia de la Tierra.

Otra de las grandes proezas de los griegos fue dar una estimación bastante buena de medida de la circunferencia de la Tierra. Y sí amigo lector, para muchos de esos señores de la Antigüedad era obvio que la Tierra era redonda (bastaba mirar como se alejaba o se acercaba un barco por el horizonte). Esta vez fue Eratóstenes, matemático, astrónomo y geógrafo griego nacido en Cirene en el 276 a.C. aunque desde el 236 a.C. vivió en Alejandría a cargo de la famosa Biblioteca. Este caso tiene además un pequeño detalle extra no exento de cierta gracia y es que Eratóstenes hizo su estimación sin moverse de Alejandría. Parece ser que en cierto papiro guardado en la Biblioteca (de la cual él fue su director o bibliotecario) se afirmaba que el día del solsticio de verano, a mediodía, en la ciudad de Siena (actual Asuán, Egipto) los objetos no proyectaban sombra y que el sol alumbraba el fondo de los pozos (ver punto S de la figura de la derecha). Eratóstenes supuso que Alejandría (punto A de la figura) estaba en la misma longitud que Siena (en realidad difieren en 3º) y que el Sol estaba lo suficientemente alejado para que los rayos fuesen paralelos y midió la sombra de su bastón en Alejandría (o quizá la de un obelisco, quien sabe) y estimó que la ciudad de Siena distaba de Alejandría en \(\theta=1/50\) partes de la circunferencia de la Tierra. Como la distancia estimada d entre ambas ciudades era de 5000 estadios (¿cómo sabían eso? hay diversas historias curiosas que omitiremos) entonces la circunferencia de la Tierra tenía que ser de 250.000 estadios, que si tomamos la medida de un estadio egipcio (Alejandría está en Egipto) obtenemos un valor de 39614 km, casi idéntico al valor de 40008 km estimado a día de hoy. La verdad es que hay todo tipo de especulaciones de cómo consiguió los datos, y si usó en vez del estadio egipcio, el estadio griego (en cuyo caso su resultado es peor). En cualquier caso no deja de ser una proeza digna de haber pasado a la historia.

Nuestro próximo protagonista va a ser, como no, Galileo. Según sus biógrafos Galileo durante su etapa de estudiante en Pisa se dio cuenta de que el péndulo de la iglesia donde solía ir a escuchar misa tardaba lo mismo en hacer un recorrido completo de ida y vuelta independiente de la distancia recorrida (como se ve Galileo prestaba mucha atención al oficio religioso) por lo que se le ocurrió que podía usarse un péndulo para medir el tiempo. La medición fiable del tiempo era un problema bastante complicado que llevaba de cabeza a muchos científicos de la época; estaba además asociado a la navegación, lo que da idea de su importancia y del interés que despertaba. Aunque Galileo no consiguió construir un reloj de péndulo fiable, su minucioso estudio del movimiento del péndulo permitió a Christiaan Huygens construir uno años más tarde. ¿Por qué Galileo necesitaba medir el tiempo de manera fiable? La razón es como no, la necesidad de matematizar las leyes de la naturaleza. Si puedes medir de manera fiable el tiempo y el espacio (distancias) entonces podrás conseguir descubrir las leyes del movimiento de los cuerpos (ya sean planetas, o piedras que caen de torres altas). Aunque al parecer Galileo nunca realizó el experimento de lanzar cosas desde la torre inclinada de Pisa, sí que estudió de forma experimental la caída de los cuerpos. Galileo era consciente de que la caída de un cuerpo desde lo alto de la torre de Pisa tardaba muy poco (algo más de 3 segundos) por lo que era conveniente tener una forma precisa de medir el tiempo. Para ello Galileo cambió el problema original de la caída vertical por el de la caída sobre planos inclinados especialmente construidos (aunque no se han conservado ninguno de los planos inclinados construidos por Galileo, dada la precisión con que se describen en sus notas algunos experimentos con ellos cabe pensar que Galileo sí llegó a usarlos en su estudio de la caída de los cuerpos). Con los planos inclinados Galileo consiguió ralentizar la caída y pudo medir los intervalos de tiempo con mucho más precisión. Para ello Galileo construyó un reloj de agua que él mismo calibró siendo capaz de conseguir medir intervalos de hasta casi una centésima de segundo. Incluso, según cuentan para disminuir sus errores, Galileo también hizo varias mediciones del mismo fenómeno. Tras ser capaz de medir distancias y tiempos con suficiente precisión, Galileo consiguió establecer las leyes del movimiento acelerado de los cuerpos y sentar las bases de la mecánica, ciencia que estableció medio siglo más tarde Isaac Newton en sus famosos Principia.

Caída de un proyectil.

En las notas manuscritas de Galileo se pueden ver distintos diagramas y anotaciones del estudio de la caída de los cuerpos, movimiento de proyectiles e incluso tablas balísticas. Para estudiar la caída de un cuerpo como el que se muestra en la figura de la derecha Galileo descompuso el movimiento en dos: uno horizontal que además describió como uniforme, es decir que la velocidad era constante, y por tanto el espacio recorrido x era proporcional a la velocidad \(x=v\cdot t\), y uno vertical donde estableció que la distancia d que recorría el cuerpo en su caída era proporcional al cuadrado del tiempo t trascurrido, dándose cuenta también que la velocidad en este caso no era constante sino proporcional a dicho tiempo t, osea, \(d=h-y=\alpha t^2\). Así, componiendo ambos probó que la trayectoria era una parábola, algo que era desconocido en su tiempo.

Si ha llegado hasta aquí amigo lector se preguntará ¿y qué tiene todo esto que ver con nuestra pregunta inicial de por qué las matemáticas son, efectivamente, el lenguaje del Universo como ya proclamó Galileo?

Los ejemplos anteriores nos inducen a pensar que si somos capaces de medir distancias y tiempos de forma precisa, automáticamente podremos, como hizo Galileo, cuantificar el mundo a nuestro alrededor. ¿Cómo lo haremos? Pues encontrando una regla de pasar de bastones a medidas de bastones, y por tanto, a números, y si tenemos números, tenemos Matemáticas. Más aún, si, como pasa cuando estudiamos cuerpos en movimiento como el vuelo de un proyectil, esos números cambian (la altura del proyectil, por ejemplo), entonces nuestra innata curiosidad nos hará preguntarnos (tal y como lo hizo Galileo) cómo lo hacen, y eso nos llevará a estudiar (y descubrir) las leyes del cambio (precisamente así nació el Cálculo diferencial e integral de la mano de Newton y Leibniz). Es decir, si somos capaces de encontrar una forma de convertir nuestras observaciones en números lo demás viene por sí sólo, no hay magia, solo hay uso de la razón. ¡Además esa regla mágica de trasformación es tremendamente antigua! Casi tan antigua como la civilización misma. Por ejemplo, si queremos conocer la distancia entre dos objetos podemos contar (o medir) cuántos bastones como el de Tales se necesitan para cubrir dicha distancia (algo similar hacemos con el tiempo), lo que nos conduce a los números enteros y, por supuesto, a los fraccionarios (o racionales) si nos vemos obligados a cortar el bastón (en fracciones del bastón)  para aumentar la precisión, etc. Así, de esta forma, es decir comparando con cierta medida fija o patrón (en nuestro ejemplo el bastón), obtendremos los valores numéricos de nuestras observaciones, sean estas distancias, tiempos, intensidades de corriente, etc. Por tanto, que las Matemáticas sean el lenguaje que usamos para describir el mundo que nos rodea no es tan increíble, y si algo lo es, es la capacidad que hemos desarrollado para encontrar esos patrones que luego usaremos para convertir nuestras observaciones en números.

Y se preguntará el avispado lector ¿qué pasa con los números irracionales como \(\sqrt{2}\) ? pues la regla de antes parece excluirlos. Bueno, esos números, como dijo el matemático alemán Kronecker son un invento del hombre (aunque más bien se refería al Diablo), pero eso ya es otra historia: es la historia de Cantor y el infinito.

 

 

Sobre Renato Álvarez Nodarse 2 Artículos
Catedrático de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, mis áreas de interés son teoría de funciones especiales y aplicaciones en problemas de física matemática.

  1. Algo que llamo mucho mi atención recientemente y que va relacionado con los que expones en tu post, es el reciente premio Nobel de física y su relación con la topología. Y es que parece que cada nuevo campo de la matemática que se va invnetando encuentra un lugar en la explicación de fenomenos naturales.
    Saludos desde México

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