Materia Topológica

Como profano en la “materia física topológica”, conocedor de la “topología de la materia matemática”, y aprovechando el hecho de que los Premios Nobel de Física de 2016 han sido concedidos en el área de la Física Condensada de las fases topológicas de la materia., haré uso de esta entrada del blog para enzalzar la topología como verdadero motor matemático de la física desde sus inicios.

TOPOLOGIA COMO MATEMATICAS DE LA CONECTIVIDAD

Si tuviera que escoger una frase que sintetizara la filosofía de la rama matemática de la topología, esta sería sin dudarlo: “Conectar o no conectar, esa es la cuestión”. Si tuviera que escoger una simple palabra que diera cuenta de su complejidad de estudio, tampoco lo dudaría: sería la de agujero. En efecto, la topología trata aspectos puramente cualitativos de problemas analíticos y geométricos y estos aspectos se pueden definir en términos de agujeros y/o singularidades globales. Lo cierto es que la abstrusa definición filosófica de agujero de un objeto como entidad que “no es”, “continuamente deformable” y “rodeada” por el objeto se traslada al ámbito matemático computacional en términos de propiedades algebraicas (invariantes topológicos) del mismo que miden su “grado” de conectividad (o, equivalentemente, su falta de ella). En función del tipo de igualdad topológica entre objetos que escojamos (homeomorfismo, (co)homotopía, (co)homología,…), el concepto de agujero se perfila diferentemente. El caso de la (co)homología es quizás el que desarrolle una noción más intuitiva de agujero, reforzada con su inclusión en la propiedad local-global tan mágica como fácilmente computable de la característica de Euler-Poincaré. En contexto 2D o 3D, estos agujeros se perciben visualmente de manera también muy intuitiva. Por ejemplo, el número de agujeros homológicos que presenta una esfera tres-dimensional es de uno (componente conexa de puntos de la esfera) en dimensión cero y de uno (la cavidad que genera la esfera en su interior) en dimensión dos. En un anillo hueco (llamado también toro), hay un agujero homológico en dimensión 0, dos agujeros “independientes” (que no pueden “deformarse” linealmente uno en el otro) en dimensión uno (llamados túneles o asas) y uno de dimensión dos (la cavidad que genera). Para definir los agujeros en homología usamos ciclos (generalización de curvas cerradas no orientadas) mientras que en homotopía usamos lazos (generalización de curvas orientadas que empiezan y terminan en un mismo punto). El toro sólo presenta como singularidades homotópicas, un agujero en dimensión cero (una única componente conexa por caminos) y otro en dimensión uno. Este caso donde la complejidad homotópica es menor que su complejidad homológica en términos de conteo de agujeros, puede considerarse un caso “raro”. En general, los grupos de homotopía de un complejo celular (objeto subdividido en celdas de diferente dimensión y unidas coherentemente a través de celdas de dimensión menor) con un número finito de celdas puede ser distintos del grupo trivial en un número infinito de casos, mientras que sus grupos de homología tendrán como dimensión tope para ser no nulos, la mayor dimensión que presenten sus celdas. Ejemplo preclaro de este “explosión” en la información de agujeros homotópicos es el dado por la esfera n-dimensional. Por otra parte, las singularidades en ecuaciones en derivadas parciales pueden considerarse como agujeros en un sentido dinámico (falta de flujo) y una fase topológica de un sistema dinámico, un patrón estructural de reconocimiento de su grado de conectividad construido a partir de sus invariantes topológicos en un instante determinado.

Esta dualidad estático-dinámica en la percepción de agujeros se empareja sorprendentemente bien con un resultado de la física bien conocido desde De Broglie: la dualidad de la materia como onda-corpúsculo. Independientemente de que esta impresión personal pueda verse como analogía disparate, es innegable que las interrelaciones con la física han estado presentes desde los inicios de la topología. Citemos dos argumentos preclaros que muestran a la topología como pretendiente a matemática aplicada a la física:

  1. EL NOMBRE DE “TOPOLOGIA” FUE OTORGADO POR FÍSICOS. El renombrado físico-matemático Peter Guthrie Tait leía en Noviembre de 1883 su discurso de introducción en la Sociedad Matemática de Edimburgo con el sorprendente título “Listing’s Topologie”.   En él, promocionaba un área matemática (“intentaré hablar de aquellas relaciones de espacio que son independientes de la medida”) que se adaptaba a la modelización de muchas propiedades físicas y que no presentaba aún un nombre generalmente aceptado como rama independiente de las matemáticas. “Para esta rama de la ciencia, no existe actualmente un nombre que la defina de forma precisa, excepto el sugerido por Listing (Vorstudien zur Topologie (Göttinger Studien, 1847), que es el que estoy obligado a adoptar a partir de ahora…”.
  1. LA BUSQUEDA DE MODELOS TOPOLOGICOS PARA LA FISICA DESDE SUS COMIENZOS. El Congreso Internacional de Matemáticas de 1932 en Zürich fue el primero al cual los topólogos de la época tuvieron una oportunidad de intentar explicar las entonces novedosísimas y poco entendidas nociones topológicas. Alexander, reputado topólogo algebraico, impartió una charla en el mismo donde explicaba: “Existen, sin embargo, varios modos distintos de análisis situ, ya que existen distintas formas de interpretar la noción física de la continuidad en el lenguaje matemático. Actualmente, tendemos, casi automáticamente a identificar el espacio físico con el espacio de las tres variables y a interpretar continuidad física en términos clásicos teóricos de funciones. Pero el espacio de tres variables reales ni es el único modelo posible de espacio físico, ni es un modelo satisfactorio para tratar con cierto tipo de problemas.”

También el estudio de la topología como teoría de conectividad o de la falta de ella (agujeros), matemáticamente entendida, se potenció desde la Física desde sus orígenes. La teorías topológicas de átomo-nudo de Kelvin y de átomo-vórtice de Thomson, el tratamiento dinámico de la electricidad y el magnetismo de Maxwell, la analogía hidrodinámica-electromagnetismo de Helmholtz, junto con los trabajos de representaciones en término de grafos de estructuras químicas de Crum Brown necesitaban “desesperadamente” en aquellos tiempo de la topología para avanzar. Esta necesidad se incrementó significativamente desde mediados del siglo pasado con los trabajos en física matemática que revelaban profundas interrelaciones entre la teoría de nudos y métodos de la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos, los estudios de nudos “físicos” de cara a comprender los fenómenos de anudamiento en el ADN y otros polímeros, la construcción de Collins de ordenadores cuánticos topológicos o la propia estructura del propio espacio-tiempo, incluyendo los agujeros negros o de gusano.

En el campo concreto de la física de la materia condensada de la mecánica cuántica, también es una herramienta habitual donde se utiliza para describir las excitaciones colectivas de sistemas de muchas partículas y entender efectos físicos tales como la superconductividad, la superfluidez o el efecto Hall cuántico. Precisamente, el físico alemán Klaus von Klitzing y sus colaboradores, obtuvieron el premio Nobel de física en 1985 por el descubrimiento del efecto Hall cuántico. En 1998, se otorgó un nuevo premio Nobel de Física a los profesores Laughlin, Strömer y Tsui por el descubrimiento de un nuevo fluido cuántico con excitaciones de carga fraccionarias. La explicación teórica del efecto Hall cuántico por Thouless, Kohmoto, den Nijs, Nightingale and Hatsugai unía fuertemente una cantidad físicamente medible como la conductividad transversal con un número topológico llamado número de Chern . Esto dio lugar a una nueva teoría de aislantes topológicos, y desde entonces, los fenómenos topológicos se han podido comprobar que se han dado no sólo en sistemas cuánticos sino también, por ejemplo, para ondas electromagnéticas. Desafortunadamente, el calificativo “topológico” se emplea en muchos fenómenos físicos, incluso a pesar de que frecuentemente su ligazón a la topología es oscura.

NOBEL 2016: EXITOSO COCTEL DE FISICA TEORICA Y TOPOLOGIA APLICADA AL CAMPO DE LA MATERIA CONCENTRADA

Por todo lo dicho, el hecho de que se hayan otorgado los premios nobel de física de 2016 a los científicos David Thouless, Duncan Haldane y Michael Kosterlitz “por sus descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológicas y de las fases topológicas de la materia” , ha vuelto nuevamente a colocar la topología como caja de herramientas estrella en el modelado físico.

Imagen extraida de NobelPrize.org

Las contribuciones de los laureados han sido varias y muy importantes. Son pioneros en introducir conceptos de topología en problemas de materia concentrada. Refutaron la teoría de que la superconductividad y superfluidez no podían ocurrir en capas delgadas Demostraron que la superconductividad puede suceder a bajas temperaturas y también explicaron el mecanismo de transición de fase que hace que la superconductividad desaparezca a temperaturas más elevadas. Asimismo, destaca los aportes con métodos topológicos del efecto Hall cuántico observado en sistemas bidimensionales (placas) con electrones sometidos a bajas temperaturas y fuertes campos magnéticos.  En el efecto Hall cuántico entero los electrones de la placa se deslocalizan, es decir, ya no son partículas sino que se han de pensar como lazos. Estos lazos permiten definir un invariante topológico (winding number) que viene a ser las vueltas que da el lazo alrededor de un “agujero” (homotópico) en el espacio. Esos agujeros físicamente corresponden a defectos en el material, a particularidades de la función cuántica que define el estado del material, etc.  Ese número es un entero y depende del sentido de giro.  Ese número físicamente está relacionado con la conducción de la corriente Hall en el material.

COMPRENDER LA COMPLEJIDAD TOPOLOGICA PARA COMPRENDER LA FISICA CUANTICA

Evidentemente, como no podría ser de otra forma, la complejidad de la topología en modelos dos y tres dimensionales físicos rebasa con creces la explicación visual divulgativa de transiciones de fase cuánticas mostrada por la Academia en su comunicado publico sobre los premios Nobel de física. Los cambios cuánticos aparecen en la nota como cambios topológicos que vienen especificados siempre por un cambio en el número de agujeros homotópicos. Lo cierto es que no siempre el número de agujeros es discriminante a la hora de clasificar topológicamente objetos tres-dimensionales. Un ejemplo sencillo de que el número de agujeros homológicos no es discriminante a la hora de clasificar topológicamente los objetos es el que nos aportan una esfera tridimensional con dos asas y el toro. Ambos presentan el mismo número de agujeros homológicos y, sin embargo, son objetos diferentes desde el punto de vista de la homología.

Imagen extraida de NobelPrize.org

Por otra parte, la elección de donuts y bagels como objectos homotópicamente equivalentes a circunferencias unidas por un punto hace necesariamente que los actores principales, los agujeros (co)homotópicos (los verdaderamente usados por Thouless, Haldane y Kosterlitz en materiales dos y tres dimensionales) se confundan con sus análogos agujeros homológicos. La nota divulgativa, en aras de una comprensión rápida, sólo muestra una minúscula parte del salvaje y complejo “bestiario” topológico tres-dimensional.

Y es que la topología, como matemática de la física de los cambios de la materia, seguro que no se limitará en el futuro a contar agujeros, sino fundamentalmente a “reconocerlos” y especificar las interrelaciones topológica fuertes que existen entre ellos, para desvelar así sutiles, nuevos y complejos cambios cuánticos topológicos.

PARA SABER MAS:

  1. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/popular-physicsprize2016.pdf.

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