El problema del sofá: matemáticas para la Semana Santa

Para los que nos ocupamos de fregar y recoger la cocina después de comer, el problema del sofá lo sufrimos a menudo. Cuando, concluida la tarea, llegamos al sofá con intención de echar una cabezadita, los mejores puestos ya están ocupados, y el mando de la tele cogido. La solución a este problema es sencilla: irse a echar la siesta a la cama.

Pero, en matemáticas, el llamado «problema del sofá» alude a otra cosa, que casualmente también está relacionada con una tarea doméstica, más pesada que la de fregar: ¿cuál es el sofá más grande que se puede trasladar por un pasillo con una esquina con forma de «L»? Por descontado, el pasillo tiene la misma anchura antes y después de la esquina, y no está permitido levantar o inclinar el sofá. Si la anchura del pasillo es \(1\), se denomina «constante del sofá» al área del mayor sofá que puede girar la esquina. ¿Y cuál es la forma de ese sofá?

Por cierto, ahora que se acerca la Semana Santa, y que las calles de Sevilla se llenarán de pasos procesionales, también podemos pensar qué forma deberíamos usar para construir el mayor paso que pueda girar la esquina entre dos calles perpendiculares de igual anchura. Tal idea no es original, y ya se puede leer en un libro del conocido matemático-literato egabrense que dirige el presente blog  [1,  pág. 65].

Aunque posiblemente el problema del sofá ya había sido planteado antes, la referencia más antigua data de 1966, y se debe al matemático austriaco-canadiense Leo Moser [2]. El caso es que el problema ha resultado ser mucho más complicado de lo que parecía, y han sido bastantes los matemáticos que han conseguido pequeños avances; aquí sólo mencionaremos algunos.

Desde luego, si el sofá es un cuadrado de lado \(1\), podrá doblar la esquina sin dificultad (y, de hecho, sin girar). Uno puede pensar que, para sofás rectangulares, conseguiremos construir uno de área mayor que pueda girar la esquina. Pero, sorprendentemente, esto no es cierto; sí que se puede, por ejemplo, girar la esquina con un sofá rectangular de longitud \(\sqrt{2}\) y anchura \(1/\sqrt{2}\), pero el área es la misma que con el sofá cuadrado.

Para conseguir mejoras, hacen falta sofás con otras siluetas. Es claro que un sofá con forma de semicircunferencia de radio \(1\) también podrá girar la esquina, y el área de ese sofá es \(\pi/2 \approx 1.5708\). Podemos verlo (junto con el sofá cuadrado) en la imagen adjunta.

En 1968, John M. Hammersley mejoró el diseño separando la semicircunferencia en dos y añadiendo, en el centro, un rectángulo con un corte semicircular en uno de sus lados; si la longitud del rectángulo central recortado es, como mucho, \(4/\pi\), ese sofá también conseguirá doblar la esquina. El área de esta figura, que recuerda al auricular de un teléfono tradicional, es \(\pi/2 + 2/\pi \approx 2.2074\). Podemos observar este sofá en la imagen adjunta. Hammersley también demostró que ningún sofá de área mayor de \(2\sqrt{2} \approx 2.8284\) iba a poder doblar la esquina; esto impone una cota superior para la constante del sofá.

En 1992, Joseph Gerver propuso un diseño de sofá visualmente parecido al de Hammersley con las esquinas interiores redondeadas que también podía doblar la esquina y tenía un área algo mayor. La frontera del sofá de Gerver tiene una descripción complicada, y está compuesta por \(18\) arcos definidos por expresiones analíticas dependientes de cuatro constantes cuyo valor solo se conoce de forma numérica (esas constantes son soluciones de un sistema no lineal de ecuaciones). El área aproximada de este sofá es \(2.2195\), pero no tenemos una expresión algebraica para este número. Dicho sofá está representado en la imagen adjunta; obsérvense, en particular, las marcas que separan las distintas piezas de la frontera. Hasta la fecha, nadie ha logrado encontrar un sofá de mayor área, pero tampoco está demostrado que no exista.

Una variante del problema del sofá es el conocido como «problema del sofá ambidiestro» y fue propuesto, al menos, por los matemáticos John H. Conway y Geoffrey C. Shepard (a veces también se denomina «problema del piano de Shepard»). La diferencia es que ahora exigimos que el sofá (o el piano) pueda efectuar giros de \(90\) grados tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. Hay que reconocer que nuestra casa tiene que ser muy grande para tener un pasillo tan sofisticado, pero en un paso procesional esto es crucial, pues no podemos esperar que, en el recorrido del paso por las calles de una ciudad, todos los giros sean a la derecha o todos a la izquierda.

En 1973, Kiyoshi Maruyama propuso, a partir de aproximaciones poligonales mediante procedimientos numéricos, una silueta de un sofá que podía efectuar ambos tipos de giros. En 2014, Philip Gibbs, usando una técnica numérica distinta, llegó a una silueta muy similar, de área aproximada \(1.64495\). La forma de esos sofás ha sido descrita como un bikini (sólo la parte de arriba) sin tirantes; el que esto escribe no alcanza a comprender la utilidad de un sujetador así, salvo que esté diseñado para ser usado en ausencia de gravedad.

Muy recientemente, Dan Romik ha realizado un significativo avance en la búsqueda del mejor sofá ambidiestro. Extendiendo las técnicas de Gerver para el problema sofá no ambidiestro, ha encontrado una silueta de un sofá ambidiestro cuya frontera está también compuesta de \(18\) arcos, cada uno definido con una expresión analítica distinta. La forma de dicho sofá es indistinguible de la dibujada numéricamente por Gibbs, y lo mismo ocurre con su área. Podemos observar el sofá de Romik en la figura adjunta; de nuevo se muestran las marcas que separan las distintas piezas de la frontera.

La sorpresa, y la diferencia de lo que ocurría con el caso del sofá de Gerver, es que los parámetros involucrados en las definiciones de la frontera del sofá de Romik sí que tienen una expresión algebraica en forma cerrada, y los segmentos de frontera son curvas algebraicas. Esto permite calcular de manera explícita el área de dicho sofá, que tiene una expresión bastante pintoresca:

$$
\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}} + \sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} – 1
+ \arctan\left( \frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{\sqrt{2}+1} + \sqrt[3]{\sqrt{2}-1} \right) \right)
\approx 1.644955218425440.
$$

También se puede calcular la longitud del sofá, que es

$$
\frac{2}{3} \sqrt{4 + \sqrt[3]{71+8\sqrt{2}} + \sqrt[3]{71-8\sqrt{2}}}
\approx 2.334099633100619.
$$

Pero, por supuesto, el sofá de Romik no resuelve el problema del sofá ambidiestro, pues no está demostrado que no pueda existir uno mejor.

Nota. Todas las imágenes de sofás que acompañan este escrito están extraídas de [3].

Referencias

[1] A. J. Durán, Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo,
Alianza Editorial, 1996.

[2] L. Moser, Problem 66-11: Moving furniture through a hallway,
SIAM Rev. 8 (1966), 381.

[3] D. Romik, Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem,
Experimental Mathematics, en prensa.
Prepublicación disponible en https://arxiv.org/abs/1606.08111

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