Imaginación y Matemáticas: Continuos homogéneos del plano.

Dido y Eneas (Fresco de Pompeya)

Historia del problema de los continuos homogéneos.

Entre las muchas definiciones de la  Matemática una de las mejores es decir que es el arte de solucionar problemas. Hoy podemos celebrar la solución de un problema que tiene su origen en el año 1920.

El círculo y la esfera han ejercido siempre una fascinación entre los matemáticos. En parte por la cantidad de problemas cuya solución es una esfera o un círculo. Uno de estos problemas es el clásico de Dido. Huyendo de su hermano Pigmalión por las costas de África pidió asilo al rey Jarbas en Túnez. Éste le concedió todo el terreno que pudiese abarcar con una piel de buey. Dido corto la piel en pequeñas tiras con las que formó una cuerda larga circular, con ella pudo abarcar todo el terreno que rodeaba una colina, en donde fundó la ciudad de Cartago.

Los matemáticos convirtieron esto en el problema isoperimétrico: entre todas las figuras planas limitadas por una frontera de longitud \(L\) cual es la que tiene el mayor área. La respuesta es el círculo.

Zigmunt Janiszewski (1888-1920) fue un matemático polaco que diseñó la escuela polaca de matemáticas. Desgraciadamente murió joven, a los 32 años, pero tuvo tiempo suficiente para fundar la revista Fundamenta Mathematicae, la primera revista matemática especializada. Está dedicada a la Teoría de Conjuntos y sus aplicaciones que en aquella época abarcaba también la Topología. Janiszewski no llegó a ver el primer tomo. La revista tenía y tiene el objetivo de  ser una revista internacional. Pero el primer tomo, tal y como Janiszewski lo planeó, contenía solo artículos publicados por matemáticos polacos. Sus últimas páginas incluyen una lista de 10 problemas propuestos por matemáticos polacos, tales como Sierpinski, Souslin, Steinhaus, Mazurkiewicz o Lusin. El problema a que nos referimos hoy es el  problema 2 de esta lista, planteado por B. Knaster y C. Kuratowski.

El problema.

Para entender el problema debemos tener en cuenta que la topología es la ciencia que estudia los invariantes de los objetos por deformación. Consideramos dos objetos equivalentes si podemos deformar uno en el otro sin romperlo o rasgarlo.  Así una taza y un donut serían equivalentes. En topología se dice que son homeomorfos (tienen forma semejante).

Un compacto es un conjunto que contiene a su frontera y  está contenido en una  bola. Ejemplos de compactos son un segmento incluyendo a sus extremos, una circunferencia, o un círculo conteniendo a la circunferencia que le sirve de frontera. Un compacto es conexo si no podemos dividirlo en dos conjuntos compactos disjuntos. Un compacto conexo se dice que es un continuo. (Un continuo con solo un punto se dice degenerado, nosotros solo nos referiremos a continuos no degenerados.)

Finalmente un espacio compacto es homogéneo si todos sus puntos son equivalentes. Así una circunferencia (o cualquier curva del plano cerrada y sin intersecciones) es un compacto homogéneo. Un segmento no es homogéneo pues los extremos se diferencian de los puntos del interior.

El problema propuesto por B. Knaster y C. Kuratowski en 1920 era:
¿Es todo continuo  homogéneo del plano homeomorfo a una circunferencia?

El seudo-arco.

El problema recibió muchas respuestas parciales positivas en que añadiendo alguna condición se probaba que efectivamente el compacto tenía que ser homeomorfo a una circunferencia. Este tipo de resultados empieza en 1929 con Mazurkiewicz y termina con R. H. Bing en 1960 que publica en la  revista Canadian Journal of Mathematics la demostración de que el resultado es cierto si el compacto contiene un arco de curva (no puedo dejar de  hacer notar que la Biblioteca General nos amenazaba en Diciembre con cortar nuestra suscripción  a esta revista a partir de enero de 2017. Esto tendría el efecto de que no podremos consultar la construcción de Bing, ni ninguna de las otras notables aportaciones publicadas en esta magnifica revista).

El problema de Knaster y Kuratowski fue resuelto por R. H. Bing en 1948 probando la existencia de un compacto plano homogéneo no homeomorfo a una circunferencia. Este resultado está publicado en la revista Duke Journal of Mathematics (a la que no  tenemos acceso ya que nuestra suscripción aprobada por la Facultad en 1986 fue cortada unilateralmente por la Biblioteca General de nuestra Universidad en 2012). El nuevo continuo homogéneo se denomina seudo-arco.

Nuevo problema de Jones y su solución por Hoehn y Oversteegen.

Muchas veces ocurre que la solución de un problema abre otro mayor. ¿Cuáles son todos los continuos homogéneos del plano? La pregunta fue formulada en 1951 por F. B. Jones. En 1954 aparece un tercero continuo homogéneo la  circunferencia de seudo-arcos.

Hace unos meses se ha publicado la solución al problema de Jones.

Logan C. Hoehn & Lex G. Oversteegen,  A complete classification of homogeneous plane continua, Acta Math. 216 (2016) 177-216.

Logan C. Hoehn
Lex V. Oversteegen

Los autores demuestran que sólo hay tres continuos homogéneos en el plano, los tres compactos ya citados: circunferencia, seudo-arco y la circunferencia de seudoarcos. El resultado es fruto de la colaboración de dos matemáticos, Logan C. Hoehn un joven que leyó su tesis doctoral en 2011 en la Universidad de Toronto y Lex V. Oversteegen un profesor de Alabama.

Imaginación y Matemáticas

Todos estarán deseando ver el seudo-arco. Pero es inútil buscar en internet. Es prácticamente imposible de imaginar visualmente. Si imaginamos el seudo-arco contenido en un cuadrado, no importa lo fino que hagamos los pixels en la pantalla, el seudo-arco los toca todos. Por ejemplo el trabajo de Lewis y Minc citado mas abajo explica la imposibilidad de hacer una figura que represente el seudo-arco.

Esto ilustra algo que creo firmemente. Lo que mas caracteriza la Matemática es la imaginación. Usualmente se considera a la Poesía o a la Música como las cimas de la imaginación. Yo pienso que es en  las Matemáticas, como arte supremo, donde la Imaginación alcanza sus cotas máximas: el seudo-arco solo podrán verlo los que se acerquen a él con su mente.

Para saber mas:

Referencias:

R. H. Bing, A homogeneous indecomposable plane continuum, Duke Math. J., 15 (1948) 729-742.
F. B. Jones, Certain homogeneous unicoherent indecomposable continua}, Proc. Amer. Math. Soc., (1951) 855-859.
B. Knaster & C. Kuratowski,  Problème 2, Fund. Math., 1 (1920) 223.
W. Lewis & P. Minc, Drawing the pseudo-arc, Houston J. Math.,  36 (2010) 905-934.

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